İkinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemler ikinci dereceden cebirsel ifadelerdir biçimindedir. ax²+bx+c=0. İkinci dereceden bir denklem bir “2. derece denklemi” İkinci dereceden bir denklemin kullanıldığı birçok senaryo vardır. Bir roket fırlatıldığında, yolunun ikinci dereceden bir denklemle tanımlandığını biliyor muydunuz? Ayrıca ikinci dereceden bir denklemin fizik, mühendislik ve astronomide çok sayıda uygulaması vardır.

İkinci dereceden denklemler, x’te x için iki yanıtı olan ikinci dereceden denklemlerdir. x için verilen bu iki yanıt, ikinci dereceden denklemlerin kökleri olarak da adlandırılır ve (α, β) olarak adlandırılır. Aşağıdaki içerikte ikinci dereceden bir denklemin kökleri hakkında daha fazlasını öğreneceğiz.

İkinci dereceden denklem nedir?

İkinci dereceden bir denklem, x cinsinden ikinci derecenin cebirsel bir ifadesidir. İkinci dereceden bir denklemin standart formu ax’tir.²+bx+c=0, burada a, b katsayılardır, x değişkendir ve c sabit terimdir. Bir denklemin ikinci dereceden denklem olabilmesi için ilk koşul x’in katsayısıdır.² sıfır olmayan bir terimdir (a ≠0). Standart biçimde ikinci dereceden bir denklem yazmak için, x² Önce terim yazılır, ardından x terimi gelir ve son olarak da sabit terim yazılır. a, b, c’nin sayısal değerleri genellikle kesirler veya ondalık sayılar olarak değil, integral değerler olarak yazılır.

Ayrıca gerçek matematik problemlerinde ikinci dereceden denklemler farklı şekillerde sunulur: (x-1)(x+2)=0, -x²=-3x+1, 5x(x+3)=12x, x³=x(x²+x-3). Daha fazla işlem gerçekleştirmeden önce tüm bu denklemlerin ikinci dereceden denklemin standart formuna dönüştürülmesi gerekir.

İkinci dereceden formül nedir?

İkinci Dereceden Formül, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmanın en basit yoludur. Kolayca çarpanlarına ayrılamayan bazı ikinci dereceden denklemler vardır ve burada kökleri mümkün olan en hızlı şekilde bulmak için bu ikinci dereceden formülü rahatlıkla kullanabiliriz. İkinci dereceden denklemin kökleri, ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve köklerinin ürününü bulmaya da yardımcı olur. İkinci dereceden formüldeki iki kök, tek bir ifade olarak sunulur. Pozitif işaret ve negatif işaret alternatif olarak denklemin iki farklı kökünü elde etmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden formül=[-b±√(b²-4ac)]/2a

Önemli İkinci Dereceden Denklem Formülleri

Aşağıdaki önemli formül listesi, ikinci dereceden denklemleri çözmek için yararlıdır.

• İkinci dereceden bir denklemin standart formu ax’tir.²+bx+c=0
• İkinci dereceden denklemin diskriminantı D=b² -4ac
• D>0 için kökler gerçek ve farklıdır.
• D=0 için kökler gerçek ve eşittir.
• D<0 için kökler yoktur veya kökler hayalidir.
• İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı α+β=-b/a=- x katsayısı/x2 katsayısıdır.
• İkinci dereceden denklemin Kökünün çarpımı αβ=c/a=Sabit terim/x2 katsayısıdır
• a>0 için, ikinci dereceden denklem ekseninin aralığı²+bx+c=0 [b2 – 4ac/4a, ∞)

İkinci dereceden formül Kanıtı

Keyfi bir ikinci dereceden denklem düşünün: ax²+bx+c=0, a≠0

Bu denklemin köklerini belirlemek için aşağıdaki işlemleri yaparız:

ax²+bx=-c ⇒ x²+bx/a=-c/a

Şimdi yeni bir terim (b/2a) ekleyerek sol tarafı tam kare olarak ifade ediyoruz.

x²+ bx/a+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²

Sol taraf şimdi tam bir kare:

(x+b/2a)²=-c/a+b²/4a² ⇒ (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²

Bu bizim için iyi, çünkü şimdi karekök alarak şunu elde edebiliriz:

x+b/2a=+√(b²-4ac)/2a

x=(-b+√(b)²-4ac))/2a

Böylece kareleri tamamlayarak x’i izole edebildik ve denklemin iki kökünü elde edebildik.

İkinci Dereceden Bir Denklemin Kökleri

İkinci dereceden bir denklemin kökleri, ikinci dereceden denklemin çözülmesiyle elde edilen iki x değeridir. İkinci dereceden bir denklemin köklerine alfa (α) ve beta (β) sembolleri ile atıfta bulunulur. İkinci dereceden denklemin bu köklerine denklemin sıfırları da denir. Burada, denklemin köklerini gerçekten bulmadan ikinci dereceden bir denklemin köklerinin doğasını nasıl bulacağımız hakkında daha fazla şey öğreneceğiz. Ayrıca denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulmak için formüllere bakın.

İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Doğası

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin doğası, denklemin köklerini (α, β) fiilen bulmadan bulunabilir. Bu durum ikinci dereceden denklemi çözmek için formülün bir parçası olan diskriminant değerini alarak mümkündür. b²-4ac, ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı olarak adlandırılır ve ‘D’ olarak gösterilir. Diskriminant değerine dayanarak, ikinci dereceden denklemin köklerinin doğası tahmin edilebilir.

Diskriminant: D=b²-4ac

• D>0, kökler gerçek ve farklıdır
• D=0, kökler gerçek ve eşittir.
• D<0, kökler yoktur veya kökler hayalidir.

İkinci Dereceden Denklemin Katsayıları ve Kökleri Arasındaki İlişki

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı ve ürünü, ikinci dereceden denklemin kökleri bulunmadan doğrudan denklemden hesaplanabilir. İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, x katsayısının x katsayısına bölünmesinin negatifine eşittir. Denklemin kökünün ürünü, x’in katsayısına bölünen sabit terime eşittir. İkinci dereceden bir denklem ekseni için ax²+bx+c=0, köklerin toplamı ve çarpımı aşağıdaki gibidir.

• Köklerin Toplamı: α+β=-b/a=- x katsayısı/x katsayısı²
• Köklerin Ürünü: αβ=c/a=Sabit terim/x katsayısı²

İkinci dereceden denklem, denklemin verilen kökleri için de oluşturulabilir. α, β, ikinci dereceden denklemin kökleri ise, ikinci dereceden denklem aşağıdaki gibidir.

x²-(α+β)x+αβ=0

İkinci Dereceden Denklemi Çözme Yöntemleri

İkinci dereceden bir denklem, iki x değerini veya denklemin iki kökünü elde etmek için çözülebilir. İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için dört farklı yöntem vardır. İkinci dereceden denklemleri çözmenin dört yöntemi aşağıdaki gibidir.

• İkinci Dereceden Denklemin Çarpanı
• Kök Bulma Formül Yöntemi
• Kareyi Tamamlama Yöntemi
• Kökleri Bulmak için Grafik Yöntemi

Bu yöntemlerin nasıl kullanılacağını, uygulamalarını ve kullanımlarını anlamak için yukarıdaki yöntemlerin her birine ayrıntılı olarak bakalım.

İkinci Dereceden Denklemin Çarpanlara Ayrılması

İkinci dereceden denklemin çarpanlara ayrılması bir dizi adımı takip eder. İkinci dereceden denklem ekseninin genel bir formu için²+bx+c=0, önce orta terimi, terimlerin çarpımı sabit terime eşit olacak şekilde iki terime ayırmamız gerekir. Ayrıca nihai olarak gerekli çarpanları elde etmek için mevcut terimden ortak terimleri alabiliriz. Çarpanlara ayırmayı anlamak için ikinci dereceden denklemin genel formu aşağıdaki gibi sunulabilir.

• x²+(a+b)x+ab=0
• x²+ax+bx+ab=0
• x(x+a)+b(x+a)
• (x+a)(x+b)=0

Aşağıdaki örnekle çarpanlara ayırmayı anlayalım.

• x²+5x+6=0
• x² + 2x+3x+6=0
• X(x+2)+3(x+2)=0
• (x+2)(x+3)=0

Böylece ikinci dereceden denklemin elde edilen iki çarpanı (x+2) ve (x+3)’tür.

Kökleri Bulmak için İkinci Dereceden Formül

Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülemeyen ikinci dereceden denklemler bir formül yardımıyla çözülebilir. İkinci dereceden denklemi çözme formülü, ikinci dereceden bir denklemin standart biçimindeki terimleri kullanır. Aşağıdaki formülle, önce formüldeki pozitif işaretini, sonra da negatif işaretini kullanarak x’in iki kökünü elde edebiliriz. Herhangi bir ikinci dereceden denklem bu formül kullanılarak çözülebilir.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin yukarıda bahsedilen iki yöntemine ek olarak, ikinci dereceden bir denklemi çözmenin bir başka önemli yöntemi daha vardır. İkinci dereceden bir denklemin karesini tamamlama yöntemi, denklemin köklerini bulmak için de yararlıdır. Bu yöntem çok sayıda cebirsel hesaplama içerir ve bu nedenle ayrı bir konu olarak açıklanmıştır.

Kareyi Tamamlama Yöntemi

İkinci dereceden bir denklem için kareyi tamamlama yöntemi, denklemin gerekli köklerini elde etmek için cebirsel olarak kare ve basitleştirmektir. İkinci dereceden bir denklem ekseni düşünün²+bx+c=0, a≠0. Bu denklemin köklerini belirlemek için aşağıdaki gibi sadeleştiriyoruz:

• ax²+bx+c=0
• ax²+bx=-c
• x²+bx/a=-c/a

Şimdi yeni bir terim (b/2a) ekleyerek sol tarafı tam kare olarak ifade ediyoruz.² iki tarafta da:

• x²+bx/a+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²
• (x+b/2a)²=-c/a+b²/4a²
• (x+b/2a)²=(b² – 4ac)/4a²
• x+b/2a=+√(b²– 4ac)/2a

Şimdi bu kareyi tamamlama yöntemiyle, denklemin köklerinin değerini birleştirebiliriz. Sadeleştirme ve karekök almanın ötesinde, ikinci dereceden denklemin olası iki kökü, x=(-b+√(b)’dir.²– 4ac))/2a. Burada ‘+’ işareti bir kök verir ve ‘-‘ işareti ikinci dereceden denklemin başka bir kökünü verir. Genellikle bu detaylı yöntemden kaçınılır ve gerekli köklerin elde edilmesi için sadece formül kullanılır.

İkinci Dereceden Bir Denklemin Grafikte Gösterimi

İkinci dereceden denklem ekseninin grafiği²+bx+c=0, ikinci dereceden denklemi y=ax fonksiyonu olarak temsil ederek elde edilebilir ax²+bx+c. Ayrıca x için değerleri çözüp yerine koyarak, y değerlerini elde edebiliriz, sayısız puan elde edebiliriz. Bu noktalar, ikinci dereceden denklem için parabol şekilli bir grafik elde etmek için koordinat ekseninde sunulabilir.

Grafiğin yatay x eksenini kestiği nokta ikinci dereceden denklemin çözümüdür. Bu noktalar, y=ax fonksiyonunda y değeri 0’a eşitlenerek cebirsel olarak da elde edilebilir.