İrrasyonel Sayılar Nelerdir? Örnekler ve Kümesi
İrrasyonel sayılar, oran şeklinde ifade edilemeyen gerçek sayılardır. Başka bir deyişle, rasyonel sayı olmayan bu gerçek sayılara irrasyonel sayılar denir. Pisagorlu bir filozof olan Hippasus, MÖ 5. yüzyılda irrasyonel sayıları keşfetti. Maalesef teorisi alay konusu oldu ve denize atıldı. Ama irrasyonel sayılar var, kavramı daha iyi anlamak için bu sayfaya bir göz atalım ve bize güvenin, denize atılmayacaksınız. Bunun yerine, kavramı bilerek, irrasyonel sayılar listesini, irrasyonel ve rasyonel sayılar arasındaki farkı ve irrasyonel sayıların gerçek sayı olup olmadığını da bileceksiniz.
İrrasyonel Sayılar nedir?
İrrasyonel sayılar, p ve q’nun tamsayı olduğu p/q kesri biçiminde ifade edilemeyen gerçek sayılar kümesidir. Payda q sıfıra eşit değildir (q ≠ 0). Hatta bir irrasyonel sayının ondalık açılımı ne sonlanır ne de tekrarlanır.
İrrasyonel Sayılar Tanımı: İrrasyonel sayılar, basit bir kesir olarak gösterilemeyen gerçek sayılardır. Bunlar p/q gibi oran biçiminde ifade edilemez, burada p ve q tam sayılardır, q≠0. Rasyonel sayıların çelişkisidir.
İrrasyonel Sayı Örnekleri
Aşağıda verilenler, yaygın olarak kullanılan birkaç özel irrasyonel sayıdır.
- ㄫ(pi) irrasyonel bir sayıdır. π=3⋅14159265… Ondalık değer hiçbir noktada durmaz. ㄫ değeri 22/7 kesrine daha yakın olduğu için pi değerini 22/7 veya 3.14 olarak alıyoruz. (Not: 22/7 bir rasyonel sayıdır.)
- √2 irrasyonel bir sayıdır. AB ve BC kenarlarının uzunluğu 1 birim olan dik açılı bir ikizkenar üçgen düşünün. Pisagor teoremi ile AC hipotenüsü √2. √2=1⋅414213⋅⋅⋅⋅
- Euler’in numarası e irrasyonel bir sayıdır. e=2⋅718281⋅⋅⋅⋅
- Altın oran, φ 1.61803398874989….
İrrasyonel Sayıların Özellikleri
İrrasyonel sayıların özellikleri, bir dizi gerçek sayı arasından irrasyonel sayıları seçmemize yardımcı olur. Aşağıda irrasyonel sayıların bazı özellikleri verilmiştir:
- İrrasyonel sayılar, sonlanmayan ve yinelenmeyen ondalık sayılardan oluşur.
- Bunlar sadece gerçek sayılardır.
- Bir irrasyonel ve bir rasyonel sayı eklendiğinde, sonuç veya bunların toplamı yalnızca irrasyonel bir sayıdır. Bir irrasyonel sayı x ve bir rasyonel sayı y için sonuçları, x+y=bir irrasyonel sayı.
- Herhangi bir irrasyonel sayı, sıfır olmayan herhangi bir rasyonel sayı ile çarpıldığında, çarpımı bir irrasyonel sayıdır. Bir irrasyonel sayı x ve bir rasyonel sayı y için, çarpımları xy=irrasyoneldir.
- Herhangi iki irrasyonel sayı için en küçük ortak katları olabilir veya olmayabilir.
- İki irrasyonel sayının toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılar olabilir veya olmayabilir.
İrrasyonel Sayı Nasıl Belirlenir?
İrrasyonel sayıların yalnızca gerçek sayılar olduğunu ve p/q biçiminde ifade edilemeyeceğini biliyoruz, burada p ve q tamsayılar ve q ≠ 0. Örneğin, √ 5 ve √ 3 vb. irrasyonel sayılardır. Öte yandan, p ve q tamsayı ve q ≠ 0 olacak şekilde p/q şeklinde gösterilebilen sayılar rasyonel sayılardır.
İrrasyonel Sayılar Sembolü
İrrasyonel sayıların sembolünü bilmeden önce, diğer sayı türleri için kullanılan sembolleri öğrenelim.
- n – Doğal sayılar
- r – Gerçek sayılar
- Q – Rasyonel sayılar.
Gerçek sayılar hem rasyonel hem de irrasyonel sayılardan oluşur. (RQ) Rasyonel sayıların (Q) reel sayılardan (R) çıkarılmasıyla irrasyonel sayıların elde edilebileceğini tanımlar.
İrrasyonel Sayılar Kümesi
İrrasyonel sayılar kümesi, parantez içinde birkaç irrasyonel sayı yazılarak elde edilebilir. İrrasyonel sayılar kümesi bazı özelliklerle elde edilebilir.
- Tam kare olmayan tüm karekökler irrasyonel sayılardır. {√2, √3, √5, √8}
- Euler sayısı, Altın oran ve Pi ünlü irrasyonel sayılardan bazılarıdır. {e, ∅, ㄫ}
- Herhangi bir asal sayının karekökü irrasyonel bir sayıdır.
Bazı irrasyonel sayıların listesi:
| π | 3.14159265…. |
| e | 2.7182818….. |
| √2 | 1.414213562… |
| √3 | 1.73205080… |
| √5 | 2.23606797… |
| √7 | 2.64575131… |
| √11 | 3.31662479… |
| √13 | 3.605551275… |
| -√3/2 | -0.866025… |
| ∛47 | 3.60882608 |
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
şeklinde tanımlanan herhangi bir sayı kesir p/q veya oran rasyonel sayı denir. Bu, q’nun sıfıra eşit olmadığı pay (p) ve paydadan (q) oluşabilir. Bir rasyonel sayı bir tam sayı veya bir tam sayı olabilir.
- 2/3=0.6666=0.67. Ondalık değer tekrarlandığından (tekrarlanır). Yani, 0.67’ye yaklaştık
- √4=2 ve -2, burada hem 2 hem de -2 tam sayılardır.
Tablo, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkı göstermektedir.
| Rasyonel sayılar | İrrasyonel sayılar |
| Bir kesir veya oran şeklinde ifade edilebilir, yani p/q, burada q ≠ 0 | Kesir veya oran şeklinde ifade edilemez. |
| Ondalık genişletme sona eriyor veya bitmiyor yineleniyor (tekrar ediyor) | Ondalık genişleme, herhangi bir noktada sonlanmaz ve yinelenmez. |
| Örnek: 0.33333, 0.656565.., 1.75 | Örnek: π, √13, e |
İrrasyonel Sayılar Hakkında İlginç Gerçekler
İrrasyonel sayılar hakkında bizi derinden anlamamızı sağlayan bazı harika ve ilginç gerçekler var.
π değeri
π değeri yaklaşık olarak hesaplanır. 22 trilyon basamak sonu olmayan. 24 sabit diskli bir bilgisayarın pi değerini hesaplaması yaklaşık 105 gün sürdü.
Euler Sayısının e icadı
Euler sayısı ilk olarak Leonhard Euler, 1731 yılında İsviçreli bir matematikçi. Bu ‘e’ aynı zamanda logaritma ve trigonometride kullanılır.
Önemli noktalar
- Herhangi iki irrasyonel sayının çarpımı hem rasyonel hem de irrasyonel olabilir. Örnek (a): Çarpma √2 ve π ⇒ 4.4428829… irrasyonel bir sayıdır. Örnek (b): Çarpmak √2 ve √2 ⇒ 2 bir rasyonel sayıdır.
- İrrasyonel sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin aksine çarpma işleminde kapalı değildir.
- İki irrasyonel sayının toplanması veya çarpımı rasyonel olabilir; örneğin, √2×√2=2. Burada √2 bir irrasyonel sayıdır. İki kez çarpılırsa, elde edilen son ürün bir rasyonel sayıdır, yani 2.
İrrasyonel Sayılar Hakkında SSS
Matematikte İrrasyonel Sayılar Nelerdir?
İrrasyonel sayılar, kesirler veya oranlar şeklinde ifade edilemeyen bir dizi gerçek sayıdır. Ör: π, √2, e, √5
İrrasyonel Sayıyı Nasıl Belirleyebilirsiniz?
Çünkü rasyonel olmayan herhangi bir sayı irrasyonel olarak kabul edilir. İrrasyonel sayılar ondalık olarak yazılabilir. Fakat kesinlikle kesir olarak yazılamaz. Hatta bu sayılar ondalık sayının sağında sonsuz tekrarlanmayan basamaklara sahip olma eğilimindedir.
Rasyonel Sayılar ve İrrasyonel Sayılar Aynı mı?
Hayır, rasyonel ve irrasyonel sayılar aynı değildir. p ve q’nun tam sayı olduğu ve q’nun 0’a eşit olmadığı p/q biçiminde gösterilen tüm sayılar bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılara örnekler 1/2, -3/4, 0.3 veya 3/10’dur. Oysa irrasyonel sayıları p/q şeklinde ifade edemeyiz.
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Arasındaki Fark Nedir?
Rasyonel sayılar, sonlanan veya sonlanmayan yinelenen sayılardır, irrasyonel sayılar ise belirli sayıda ondalık basamaktan sonra ne sonlanan ne de yinelenen sayılardır.
2/3 bir İrrasyonel Sayı mı?
Hayır, 2/3 irrasyonel bir sayı değildir. 2/3=0.666666…. ki bu yinelenen bir ondalık sayıdır. Bu nedenle 2/3 bir rasyonel sayıdır.
Rasyonel Sayılar ve İrrasyonel Sayılar Neden Gerçek Sayılar Kümesinin İçindedir?
Ondalık olarak ifade edilebilen sayılar gerçek sayılar olarak kabul edilir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar hakkında konuşursak, her iki sayı biçimi de ondalık sayılarla temsil edilebilir, dolayısıyla hem rasyonel sayılar hem de irrasyonel sayılar gerçek sayılar kümesindedir.
Pi Neden İrrasyonel Bir Sayıdır?
Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanır. Pi’nin değeri her zaman sabittir. Pi (π) yaklaşık olarak 3.14159265359’a eşittir ve sonu olmayan, tekrarlanmayan bir ondalık sayıdır. Dolayısıyla ‘pi’ irrasyonel bir sayıdır.
Kök 2 ve Kök 3 Arasında Kaç İrrasyonel Sayı Var?
Kök 2 ile kök 3 arasında sonsuz sayıda irrasyonel sayımız olabilir. Kök 2 ile kök 3 arasındaki birkaç irrasyonel sayı örneği 1.575775777…, 1.4243443… ve 1.686970…
İrrasyonel Sayılar Sonsuz ve Tekrarsız mı?
Evet, irrasyonel sayılar sonlu değildir ve yinelenmez. Sonlandırma sayıları, belirli bir sayıdan sonra biten ondalık sayılardır.
