Gerçek Sayılar Nelerdir? Örnekleriyle

Gerçek dünyada bulunabilen herhangi bir sayı gerçek bir sayıdır. Etrafımızdaki her yerde sayıları buluruz. Nesneleri saymak için doğal sayılar, kesirleri temsil etmek için rasyonel sayılar, bir sayının karekökünü hesaplamak için irrasyonel sayılar, sıcaklığı ölçmek için tamsayılar vb. Bu farklı sayı türleri, gerçek sayıların bir koleksiyonunu oluşturur. Bu derste, gerçek hakkında her şeyi öğreneceğiz.sayılar ve önemli özellikleri.

Gerçek Sayıların Tanımı

Karmaşık sayılar dışında aklımıza gelen her sayı gerçek sayıdır. R ile gösterilen gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi (Q) ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Bu, gerçek sayıların doğal sayıları, tam sayıları, tam sayıları, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları içerdiğini gösterir. Örneğin, 3, 0, 1.5, 3/2, ⎷5 vb.

Şimdi, hangi sayılar gerçek sayı değildir? Rasyonel veya irrasyonel olmayan sayılar ⎷-1, 2+3i ve -i gibi gerçek sayılar değildir. Bu sayılar karmaşık sayılar kümesini içerir.

Bunu daha iyi anlamak için aşağıdaki tabloyu inceleyin. Tablo, gerçek sayıların altına gelen sayı kümelerini göstermektedir.

Sayı kümesi Gerçek sayılar kümesinin bir parçası mı?

Doğal sayılar	✅
Bütün sayılar	✅
tamsayılar	✅
Rasyonel sayılar	✅
İrrasyonel sayılar	✅
Karışık sayılar	❌

Gerçek Sayıların Sembolü

Gerçek sayılar kümesi, tüm rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı olduğundan, gerçek sayılar  “R” sembolü ile temsil edilir.İşte diğer sayı türlerinin sembollerinin bir listesi.

• n – Doğal sayılar
• Z – Tamsayılar
• Q – Rasyonel sayılar

Gerçek Sayı Sistemi

Karmaşık sayılar dışındaki tüm sayılar gerçek sayılardır. Gerçek sayı sistemi aşağıdaki beş alt kümeye sahiptir:

• Nesneleri saymak doğal sayılar kümesini verir: N=1, 2, 3…
• 0 ile birlikte doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesini temsil eder: W=0, 1, 2, 3…
• Borçların, sıcaklıkların vb. ölçümü tamsayılar kümesine girer: Z=…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
• Bir pastayı eşit parçalara bölersek, kesri temsil eden bir parçamız olabilir. Bu, rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır
• ⎷2 gibi pozitif rasyonel sayıların karekökleri, rasyonel sayıların küp kökleri vb. olan sayılar, irrasyonel sayılar kümesini gösterir

Bu kümelerden N ve Z kümeleri Q’nun alt kümeleridir. Aşağıdaki şekil, yukarıda bahsedilen tüm sayılar arasındaki ilişkiyi göstermektedir.

Gerçek Sayı Türleri

Gerçek sayıların farklı türleri vardır. Gerçek sayıların tanımından, gerçek sayılar kümesinin hem rasyonel sayılar hem de irrasyonel sayılardan oluştuğunu biliyoruz. Dolayısıyla ne rasyonel ne de irrasyonel olan hiçbir gerçek sayı yoktur. Bu basitçe, R’den herhangi bir sayı alırsak, bunun ya rasyonel ya da irrasyonel olduğu anlamına gelir.

Rasyonel sayılar

p/q kesri veya oran şeklinde tanımlanan herhangi bir sayı rasyonel sayı denir. Pay p olarak ve payda q olarak temsil edilir, burada q sıfıra eşit değildir. Bir rasyonel sayı, bir doğal sayı, bir tam sayı, bir ondalık sayı veya bir tam sayı olabilir. Örneğin 1/2, -2/3, 0.5, 0.333 rasyonel sayılardır.

İrrasyonel sayılar

İrrasyonel sayılar, p ve q’nun tamsayı olduğu ve payda q’nun sıfıra (q≠0) eşit olmadığı bir p/q kesri biçiminde ifade edilemeyen gerçek sayılar kümesidir. Örneğin: π (pi) irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265…Bu durumda ondalık değer hiçbir noktada bitmez. Bu yüzden ⎷2 irrasyonel bir sayıdır.

Gerçek Sayıların Özellikleri

Tıpkı doğal sayılar ve tam sayılar kümesi gibi, gerçek sayılar kümesi de kapatma özelliğini, birleşme özelliği, değişme özelliğini ve dağılma özelliğini sağlar. Aşağıda reel sayıların önemli özelliklerinden bahsedilmiştir.

• Birleşme: Herhangi üç gerçek sayının toplamı veya çarpımı, sayıların gruplandırılması değişse bile aynı kalır. R’nin birleşme özelliği şu şekilde ifade edilir: Tüm a,b,c ∈ R için, a+(b+c)=(a+b)+c ve a×(b×c)=(a×b)×C
• Değişme: İki gerçek sayının toplamı ve çarpımı, sayıların sırasını değiştirdikten sonra bile aynı kalır. R’nin değişme özelliği şu şekilde ifade edilir: Tüm a, b ∈ R, a+b=b+a ve a×b=b×a için
• Dağılma : Çarpmanın toplama üzerinden dağılma özelliği a×(b+c)=(a×b)+(a×c) ve çarpmanın çıkarma üzerinden dağıtma özelliği a×(b – c)=(a×b) – (bir×c)

Sayı Doğrusu Üzerinde Gerçek Sayılar

Sayı çizgisi, gerçek sayıları çizgi üzerinde benzersiz bir nokta ile temsil ederek görüntülemenize yardımcı olur. Gerçek bir sayıyı bir nokta ile temsil ettiğimizde, bu noktaya koordinat denir. Bir koordinatı temsil eden bir gerçek sayı doğrusu üzerinde noktayı temsil ettiğimizde, gerçek doğruya onun grafiği denir. Sayı doğrusundaki her nokta benzersiz bir gerçek sayı gösterir. Sayı doğrusunda gerçek sayıları temsil etmek için aşağıdaki adımlara dikkat edin:

• Her iki ucunda da ok bulunan yatay bir çizgi çizin ve ortada bir yere 0 sayısını işaretleyin. 0 sayısına orijin denir.
• Orijinin her iki tarafında eşit bir uzunluk işaretleyin ve belirli bir ölçekle etiketleyin.
• Pozitif sayıların orijinin sağ tarafında ve negatif sayıların orijinin sol tarafında bulunduğunu unutmayın.

Gerçek Sayılarla İlgili SSS

Tüm Gerçek Sayıların Kümesi nedir?

Gerçek sayılar kümesi, tüm rasyonel ve irrasyonel sayıları içeren bir kümedir. Doğal sayıları (N), tam sayıları (W), tam sayıları (Z), rasyonel sayıları (Q) ve irrasyonel sayıları içerir.

Gerçek Sayılar Sayı Doğrusunda Nasıl Temsil Edilir?

Gerçek sayılar, aşağıdaki adımlar izlenerek bir sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir:

• Her iki ucunda da ok bulunan yatay bir çizgi çizin ve ortada bir yere 0 sayısını işaretleyin. 0 sayısına orijin denir.
• Orijinin her iki tarafında eşit bir uzunluk işaretleyin ve belirli bir ölçekle etiketleyin.
• Pozitif sayıların orijinin sağ tarafında ve negatif sayıların orijinin sol tarafında olduğunu unutmayın.

Negatif Sayının Karekökü Gerçek Sayı mı?

Hayır, negatif bir sayının karekökü gerçek bir sayı değildir. Örneğin, ⎷-2 gerçek bir sayı değildir. Ancak, ⎷ sembolünün içindeki sayı pozitifse, bu gerçek bir sayıdır.

0 Gerçek Sayı mı?

Evet, 0 gerçek bir sayıdır çünkü tam sayılar kümesine aittir ve tam sayılar kümesi de gerçek sayıların bir alt kümesidir.

9 Gerçek Sayı mı?

Evet, 9 gerçek bir sayıdır çünkü gerçek sayıların altına gelen doğal sayılar kümesine aittir.

Hangi Sayılar Gerçek Sayı Değildir?

⎷-1 gibi karmaşık sayılar gerçek sayılar değildir. Başka bir deyişle, ne rasyonel ne de irrasyonel olmayan sayılar gerçek sayı değildir.