Matrisler

Çoğu insan “matrix” kelimesini düşündüğünde, muhtemelen Keanu Reeves’in başrol oynadığı 1999 filmini düşünürler. Film, gerçek hayattaki bilgisayarların çoğunun yaptığı gibi, filmdeki uğursuz bilgisayarların çalışmak için matrisleri kullandığı ölçüde, matrislerin matematiksel kavramıyla ilgilidir.

Aslında, matrislerin bilgisayar bilimlerinde uygulamaları vardır çünkü bunlar büyük sayı kümelerini temsil etmenin kullanışlı ve kompakt bir yoludur. Bazı ekonomik teoriler matrislerle de iyi bir şekilde temsil edilebilir. Matematikte, matrislerin ilkeleri grafik teorisi ve gerçek analiz için gereklidir.

Bu kılavuz, küçük matrisleri, yani iki sütunlu ve iki satırlı matrisleri dikkate alarak başlar.

Konu, bunların nasıl tanımlanacağını ve 2×2 matrisler üzerinde işlemlerin nasıl yapılacağını detaylandırarak başlar. Aynı zamanda bu kavramların bilgiyi temsil etmek için nasıl kullanılabileceğini de açıklar.

Bu kılavuzdaki ikinci konu, ilk bölümdeki bilgileri tüm matrislere kadar genellemektedir. Matrisleri çözmek için satır azaltma stratejileri ve matematiğin diğer dallarında kullanılan daha gelişmiş birkaç konuyu tanıtarak sona erer.

2×2 Matrislere Giriş

Bir 2×2 matris iki sıra ve iki sütun bulunmaktadır. Satırlara ve sütunlara sahip oldukları sürece tablolarla bazı benzerlikleri vardır. Fakat önemli farklılıklar vardır. Tablolar, grafik bir görüntüdür. Bilgileri belirli ışıklarda göstermek için manipüle edilebilirler. Fakat tablolar arasındaki işlemler bir anlam ifade etmiyor.

Öte yandan, matrisler bir dizi sayı dizisidir. Tabloda olduğu gibi sayılar arasında kesin bölme yoktur ve matrisleri kullanarak işlemleri gerçekleştirmenin yolları vardır.

Bununla birlikte, matrislerle yapılan işlemler, tek tek terimleri ve hatta fonksiyonları eklemek, çıkarmak, çarpmak ve bölmek için kullanılan temel matematik işlemlerinden daha kapsamlıdır.

Bunun nedeni kısmen, bir matrisin genel olarak birçok öğe (girişler olarak da bilinir) içermesi ve işlemler genellikle skaler çarpma haricinde diğer matrislerle yapılmasıdır. Bununla birlikte, belirli kısıtlamalarla matrislerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve güçlerinin alınması mümkündür. Bazı matrislerin tersini de bulmak mümkündür.

Bu konu, bir sonraki bölümde herhangi bir boyuttaki matrisler için genelleştirmeden önce bu kavramları 2×2 matrislerle tanıtmaktadır.

Matrislerin bir açıklamasıyla açılır ve ardından toplama, çıkarma, skaler çarpma ve matris çarpma işlemlerini sunar. Daha sonra yukarıda gösterilen 2×2 özdeşlik matrisini ve özelliklerini tartışır. Bundan sonraki bölüm determinantları ve bir matrisin tersi olup olmadığını ve eğer öyleyse ne olduğunu bulmak için nasıl kullanılabileceklerini ele alıyor.

Son olarak konu, matrislerin bilgiyi temsil etmek için matematiksel olarak kullanılabileceği yollarla son bulur.

• Matrisleri Tanımlama
• Eşit Matrisler
• Matris Türleri
• Matris Toplama ve Çıkarma
• Skaler çarpım
• Matris Çarpımı
• Kimlik Matrisi
• Bir Matrisin Belirleyicisi
• Bir Matrisin Tersi
• Determinantı sıfıra eşit olan, tersi olmayan matris, tekil matris
• Bir Denklem Sistemini Çözme
• Bilgileri Temsil Etmek

Diğer Matrislere Giriş

İlk başlıkta 2×2 matrisler için tanıtılan kavramlar diğer matrislere genişletilebilir. Teknik olarak, bir matris sonsuz sayıda satır ve sütuna sahip olabilir ve m satırlı ve n sütunlu bir matrise mxn matrisi denir (“m×n” okuyun). Genel bir matrisin temsilleri genellikle iki alt simgeli öğeleri içerir.

Birincisi öğenin satırını, ikincisi öğenin sütununu temsil eder.

Örneğin, genel bir matrisin sol üst köşesindeki ilk eleman, alt simge 11’e sahipken, bir mxn matrisinin sağ altındakinin, resimde gösterildiği gibi, mn alt simgesi olacaktır.

Bilgisayar bilimi gibi konularda bilgileri temsil etmek için kullanılan matrisler, aslında yoğunlaştırılmış ve kullanışlı bir temsil olsalar bile çok büyük olabilir.

Matris çarpımı gibi şeyler çok sayıda adım içermesine rağmen, programların büyük ölçekli matris çarpımını hesaplamak için kullanabileceği tekrarlayan algoritmalar vardır.

Bu bölüm matrislere ve matris işlemlerine girişin genelleştirilmesiyle başlar. Daha sonra herhangi bir kare matris için süreci genellemeden önce 2×2 ve 3×3 determinantlarının nasıl bulunacağı tartışılır.

Bu bilgi, bu tür matrislerin tersinin nasıl basitleştirileceğini ve bulunacağını açıklamak için kullanılır. Konu aynı zamanda matrisler kullanılarak temsil edilen denklem sistemlerini çözmek için tersin nasıl kullanılabileceğini de kapsar. Son olarak konu, satır indirgeme yöntemlerini ve matrislerin diğer uygulamalarını açıklayarak sona erer.

• Matrislere Giriş
• Matris Toplama ve Çıkarma
• Matris Skaler Çarpımı
• Matris Çarpımı
• Kimlik Matrisi
• 2×2 Matrisin Determinantı
• 3×3 Matrisin Belirleyicisi
• Determinantı Basitleştirme
• 2×2 Matrisin Tersi
• 3×3 Matrisin Tersi
• Determinantı sıfıra eşit olan, tersi olmayan matris, tekil matris
• Matris Tersini Kullanarak 2×2 Denklem Sistemini Çözme
• Matris Tersini Kullanarak 3×3 Denklem Sistemini Çözme
• Üç Doğrusal Denklem Sistemini Çözmek İçin Gauss-Jordan Yöntemini Kullanma
• Bir Denklem Sistemini Çözmek İçin Matrisi İndirgeme
• Matris Satır Dönüşümlerini Kullanarak Bir Denklem Sistemini Çözme
• Cramer Kuralı
• Bir Paralelkenar Alanını Bulmak İçin Determinantı Kullanma
• Bir Üçgen ve Çokgenin Alanını Bulmak İçin Determinant’ı Kullanma