Matematik
Matematik, hareket halindeki veya değişen şeylerin incelenmesidir. Cebir, geometri, trigonometri ve hesap öncesi kavramları kullanır.
Kalkülüs, optimizasyondaki kullanışlılığı nedeniyle hem mühendislik hem de iş alanında uygulamalara sahiptir.
Örneğin, bir mühendis, bir makinenin hala doğru şekilde çalışması için gereken en az malzeme miktarını bulmak için kalkülüsü kullanabilir. Alternatif olarak, bir insan kaynakları yöneticisi bunu yeni bir sitenin çalışması için gereken minimum çalışan sayısını bulmak için kullanabilir.
Matematik genellikle matematik I, II ve III olarak işlenir.
Matematik I genel olarak bu kılavuzda olduğu gibi hem diferansiyel hem de integral hesabı ele alacaktır.
Matematik II, integral kalkülüs ve seriler ve dizilerle ilgili daha karmaşık konuları araştırırken, matematik III normalde çok değişkenli analizin çalışmasıdır.
Alternatif olarak, Türkiye Cumhuriyeti’ndeki birçok lise hesabı AB hesabı ve BC hesabı olarak ayırır. Calculus AB, kalkülüs I’in eşdeğerini kapsarken, BC hesabı I ve II’nin çoğunu kapsayacaktır.
Isaac Newton genel olarak hesabı ” icat etme ” veya ” keşfetme ” kredisini alsa da, kalkülüs kavramları yaklaşık aynı zamanda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibnitz tarafından bağımsız olarak türetilmiştir. Newton için, aynı anda üzerinde çalıştığı yerçekimi fiziğini açıklamak için kalkülüs gerekliydi.
Bu kılavuz esas olarak Matematik I’de öğrenilen konulara odaklanmaktadır. Sınırlar, çarpım ve bölüm kuralları, zincir kuralı, farklı fonksiyonların türevleri ve optimizasyon dahil olmak üzere diferansiyel hesabın derinlemesine bir açıklamasıyla başlar.
İkinci bölüm, Riemann toplamları, analizin temel teoremi, belirsiz integraller ve integralleri hesaplamak için farklı yöntemler de dahil olmak üzere integral hesabı ile ilgilidir.
Son bölüm, genellikle matematik derslerinin sonunda ele alınan kutupsal koordinatlar ve parametrik denklem kavramlarını araştırmaktadır.
Diferansiyel hesap
Diferansiyel hesaplama, değişim ve hareket hızları ile ilgilidir. Herhangi bir noktadaki bir eğrinin değişim oranını hesaplamak veya eğrilerin maksimum veya minimumlarını bulmak için kullanılabilir. Bu değerleri elde etmek için kullanılan fonksiyonlara ” türevler ” denir . Örneğin, herhangi bir fonksiyonun ilk türevi, herhangi bir noktada bir eğriye teğet bir doğru bulmak için kullanılabilir.
Newton ve Leibnitz, bir fonksiyonun türevini bulmak için limit kavramını kullandı. Ortak fonksiyonların türevlerini öğrendikten sonra, daha karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için belirli kurallar kullanılabilir.
Bu bölüm analiz, limitler ve türevlere bir giriş ile başlar. Daha sonra güç kuralı, ürün kuralı, bölüm kuralı ve zincir kuralı dahil olmak üzere türevleri bulmak için kurallar sunar.
Kılavuz ayrıca trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar dahil olmak üzere farklı fonksiyon türlerinin türevlerini bulmaya yönelik kaynakları da içerir. Daha sonra, türevlerin nasıl alınacağını ve bunların uygulamalarını açıklayan kaynaklar var.
Son olarak konu, optimizasyon ve daha gelişmiş diferansiyel hesap alt konularının tartışılmasıyla sona erer.
- Kalkülüse Giriş
- Bir Fonksiyonun Sınırları
- Türevler
- Güç Kuralı
- Ürün kuralı
- Kota kuralı
- Zincir kuralı
- Türev Kurallar
- Trigonometrik Türevler
- Ters Trigonometrik Türevler
- Trigonometrik Değiştirme
- Trigonometrik Fonksiyonlar için Türev Formülleri Türetme
- Üstel Fonksiyonların Türevleri
- Doğal Kütüğün Türevi
- Logaritmik Farklılaşma
- Örtülü Farklılaşma
- İkinci Türev ve Daha Yüksek Türevler
- Maxima ve Minima
- Kritik Sayıları Bulmak
- İçbükeylik
- Çizim Eğrileri
- Ortalama değer teoremi
- Asimptotlar
- Hiperbolik Fonksiyonlar
- L’Hopital Kuralı
- Türevlerle Optimizasyon
- Türevlerle İlgili Oranlar
- Newton Yöntemi
İntegral hesabı
İntegral hesap, analizin ilk bölümünün ikinci yarısını oluşturur. Esasen türevlerden geriye doğru çalışmanın bir yoludur. Yani, bir fonksiyonun türevini bulmaktan ziyade, bir türevin hangi fonksiyona veya fonksiyonlara karşılık geldiğini bulur.
Türev, herhangi bir noktada bir eğri üzerindeki değişim oranını hesaplamak için kullanılabilirken, herhangi bir aralıkta bir eğrinin altındaki alanı bulmak için bir integral kullanılabilir. İntegraller ve türevler arasındaki ilişki, bu konuda detaylı olarak tartışılacak olan analizin temel teoreminin omurgasını oluşturur.
Eğrilerin altındaki alanlar ve integraller arasındaki ilişki en iyi aşağıdaki resimde gevşek bir şekilde gösterilen Riemann toplamları ile açıklanabilir.
Bu eğrinin altındaki alanın, dikdörtgenlerin alanlarının toplamı ile yaklaşık olarak tahmin edilebileceğini unutmayın. Dikdörtgenlerin genişliği daha küçük olsaydı, yaklaşım daha da yakın olurdu. Bu, Riemann toplamları ile ilgili alt başlıkta daha ayrıntılı olarak tartışılmıştır.
Bu kılavuz ilk olarak ters türevleri, belirli integralleri ve belirli integrallere yaklaşma yöntemlerini tartışır. Daha sonra analizin temel teoremini tanıtıyor ve açıklıyor. Bundan sonra integrallerin keşfi, entegrasyon için kullanılabilecek farklı yöntemlerle ve üstel ve hiperbolik fonksiyonlar gibi farklı fonksiyonların nasıl entegre edileceğiyle devam eder. Son olarak konu, integral analizde daha ileri konuların araştırılmasıyla sona erer.
- Ters türevi
- Kesin integral
- Dikdörtgenler, Trapezoid Kural ve Simpson Kuralı kullanarak İntegrallerin Yaklaşık Ölçümü
- Riemann Toplamları ile Belirli İntegrallerin Hesaplanması
- Kalkülüsün Temel Teoremi
- Belirsiz İntegraller
- Yanlış İntegraller
- Parçalara göre entegrasyon
- Kısmi Kesirler kullanarak entegrasyon
- Üstel İşlevleri Entegre Etme
- Hiperbolik İşlevleri Entegre Etme
- Trigonometrik İntegraller
- Ters Trigonometrik Fonksiyonları kullanarak entegrasyon
- İntegral Testi
- Eğri Altındaki Alan
- Hacmi
- Laplace Dönüşümü
- Ters Laplace Dönüşümü
Parametrik Eğriler ve Kutupsal Koordinatlar
Kalkülüs öncesi kursları genellikle parametrik eğriler ve kutupsal koordinatlar konularını sunar. Çoğu matematik dersi bunları daha ayrıntılı olarak tartışır ve türevlerin ve integrallerin hem parametrik eğriler hem de kutupsal koordinatlarla nasıl çalıştığını açıklar.
Bu kılavuz aynı zamanda parametrik eğriler ile hesap ve kutupsal koordinatlar ve hesap arasındaki ilişkiyi de açıklamaktadır. İntegrallerin nasıl bulunacağını ve onlar için türevlerin nasıl bulunacağını tanıtmadan önce parametrik eğrilerin gözden geçirilmesiyle başlar.
Daha sonra kutupsal koordinatları gözden geçirir ve kutupsal koordinat sistemindeki eğrilerin altındaki alanı ve değişim oranını bulmak için hesabın nasıl kullanılabileceğini açıklar. Kılavuz, kutupsal eğrilerin grafiklerinin bir incelemesiyle sona ermektedir.
- Parametrik Eğriler
- Parametrik Eğrili Matematik
- Kutupsal Koordinatlar
- Kutupsal Koordinatlarda Hesap ve Alan
- Kutupsal Eğrilerin Grafiklendirilmesi