Tam Sayılar Nelerdir? Kaçtan Başlar?

“Tamsayı” terimi, Matematik’te Latince’den uyarlanmıştır. Tamsayı, bozulmamış veya bütün anlamına gelir. Tam sayılar, tam sayılara çok benzer. Fakat aralarında negatif sayılar da vardır.

Tam Sayı Nedir?

Tamsayı, sıfır dahil olmak üzere negatif ve pozitif sayılar kümesinden ondalık veya kesirli kısmı olmayan bir sayıdır. Tam sayı örnekleri şunlardır: -5, 0, 1, 5, 8, 97 ve 3.043.
Z ile temsil edilen bir tamsayı kümesi şunları içerir:

• Pozitif Tam Sayılar: Bir tamsayı sıfırdan büyükse pozitiftir. Örnek: 1, 2, 3…
• Negatif Tam Sayılar: Bir tamsayı sıfırdan küçükse negatiftir. Örnek: -1, -2, -3…
• Sıfır ne negatif ne de pozitif tam sayı olarak tanımlanır. Bu bir tam sayıdır.

Z={…-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}

Sayı Doğrusunda Tam Sayılar

Sayı çizgisi, sayıların düz bir çizgi üzerinde görsel bir temsilidir. Bu doğru, her iki yanında yatay olarak uzanan sonsuz bir doğru üzerinde eşit aralıklarla yerleştirilmiş sayıların karşılaştırılmasında kullanılır.

Tıpkı diğer sayılar gibi, tam sayılar kümesi de bir sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir.

Sayı Doğrusu Üzerinde Tam Sayıların Gösterimi

• Sağ yatay taraftaki sayı her zaman sol taraftaki sayıdan daha büyüktür.
• Pozitif sayılar “0”dan büyük olduğu için 0’ın sağ tarafına yerleştirilir.
• Negatif sayılar “0”dan küçük oldukları için “0”ın soluna yerleştirilir.
• Pozitif veya negatif olmayan sıfır, merkezde tutulur.

Tamsayı İşlemleri

Tamsayılarla ilişkili dört temel aritmetik işlem şunlardır:

• Tamsayıların Toplanması
• Tam Sayının Çıkarılması
• Tamsayıların Çarpımı
• Tamsayıların Bölünmesi

Bu işlemleri yapmak için bazı kurallar vardır.
Bu tamsayı işlemleri yöntemlerini öğrenmeye başlamadan önce, birkaç şeyi hatırlamamız gerekiyor.
Bir sayının önünde işaret yoksa sayı pozitiftir. Örneğin 5, +5 anlamına gelir.
Bir tamsayının mutlak değeri pozitif bir sayıdır, yani |−2|=2 ve |2|=2.

Tamsayıların Toplanması

İki tamsayı eklerken aşağıdaki durumlarla karşılaşırız:

• Her iki tamsayı da aynı işaretlere sahiptir: Tam sayıların mutlak değerlerini toplayın ve sonuca verilen tam sayıların işaretiyle aynı işareti verin.
• Bir tam sayı pozitif, diğeri negatif: Sayıların mutlak değerlerinin farkını bulun ve sonuca bu sayılardan büyük olanın orijinal işaretini verin.

Örnek 1:

İki tam sayı ekleme: 2+(-5) değerini hesaplayın.

Çözüm:

Burada 2 ve (-5)’in mutlak değerleri sırasıyla 2 ve 5’tir.
Farkları (daha büyük sayı – daha küçük sayı) 5 – 2=3
Şimdi, 2 ve 5 arasında 5, daha büyük sayı ve orijinal işareti “-”.
Bu yüzden sonuç “-” eksi işareti alır.
Bu yüzden 2+(-5)=-3

Örnek 2:

İki tam sayı ekleme: -2+5 değerini hesaplayın.

Çözüm:

Burada (-2) ve 5’in mutlak değerleri sırasıyla 2 ve 5’tir.
Farkları (daha büyük sayı – daha küçük sayı) 5 – 2=3
Şimdi, 2 ve 5 arasında 5, daha büyük sayı ve orijinal işareti “+”.
Dolayısıyla, sonuç pozitif bir değer olacaktır.
Bu yüzden (-2)+5=3
Yukarıdaki problemi bir sayı doğrusu kullanarak da çözebiliriz. Sayı doğrusuna tam sayıların eklenmesi için kurallar:

• her zaman “0”dan başlayın.
• sayı pozitifse, sağ tarafa gidin.
• sayı negatifse sol tarafa gidin.

Bir sayı doğrusu kullanarak 5+(-10) değerini bulalım.
Verilen problemde ilk sayı pozitif olan 5’tir.
Yani 0’dan başlıyoruz ve 5 birim sağa doğru hareket ediyoruz.

Verilen problemdeki bir sonraki sayı -10’dur ve bu negatiftir.
(Beşinci birimden) 10 birim sola hareket ediyoruz.

Sonunda taşındığımız sayı -5’tir.

Tamsayıların Çıkarılması

İki tam sayının çıkarılmasını gerçekleştirmek için:

• Çıkarılanın işaretini değiştirerek işlemi toplama problemine dönüştürün.
• Aynı tamsayı toplama kurallarını uygulayın ve yukarıdaki adımda elde edilen problemi çözün.

Örnek:

İki tamsayıyı çıkarma: 7 – 10 değerini hesaplayın.

Çözüm:

Verilen ifadeyi toplama problemine çevirerek: 7+(-10) elde ederiz.
Şimdi, bu işlemin kuralları iki tam sayının toplanmasıyla aynı olacaktır.
Burada 7 ve (-10)’un mutlak değerleri sırasıyla 7 ve 10’dur.
Farkları (daha büyük sayı – daha küçük sayı) 10-7=3’tür.
Şimdi, 7 ve 10 arasında 10, daha büyük sayı ve orijinal işareti “-”.
Bu yüzden sonuç “-” eksi işareti alır.
Bu yüzden 7-10=-3

Tamsayıların Çarpımı

İki tam sayının çarpımını gerçekleştirmek için:

• İşaretlerini çarpın ve elde edilen işareti alın.
• Sayıları çarpın ve elde edilen işareti cevaba ekleyin.

Örnek

+×+	+	2×3=6
+×-	–	2×(-3)=-6
-×+	–	(-2)×3=-6
-×-	+	-2×-3=6

Örnek:

Sayı doğrusunda tam sayıları çarpma: Bir sayı doğrusu kullanarak -2×3 ve -2×-3 değerini hesaplayın.

Çözüm:

2×-3’ü “2 kere -3” olarak okuyoruz. Sayı doğrusunda -3’ü 2 kez temsil etmeliyiz. Bunu yapmak için iki kez 3 birim sola hareket edeceğiz.

Böylece, 2×-3=-6.

Hatta -2×-3, -2×3’e benzer. Fakat 2, -2 ile değiştirilir. Bu yüzden yukarıdakiyle aynı sayı doğrusu sürecini takip ederiz. Fakat ters yönde (yani, sağ tarafa).

Sayı doğrusu şu şekilde temsil edilecektir:

Bu yüzden -2×-3=6

Tamsayıların Bölünmesi

İki tamsayı arasında bölme işlemini gerçekleştirmek için:

• İki işlenenin işaretlerini bölün ve sonuçtaki işareti alın.
• Sayıları bölün ve elde edilen işareti bölüme ekleyin.

İki işaretin bölünmesi için farklı olası durumlar aşağıdaki tabloda gözlemlenebilir:

Örnek

+÷+	+	12÷3=4
+÷-	–	12÷-3=-4
-÷+	–	-12÷3=-4
-÷-	+	-12÷-3=4

Tam Sayı Kuralları

Tamsayılar için tanımlanan kurallar:

• İki pozitif tamsayının toplamı bir tamsayıdır.
• İki negatif tam sayının toplamı bir tam sayıdır.
• İki pozitif tam sayının çarpımı bir tam sayıdır.
• İki negatif tam sayının çarpımı bir tam sayıdır.
• Herhangi bir tamsayı ile negatif değeri arasındaki toplama işlemi sonucu sıfır olarak verecektir.
• Herhangi bir tamsayı ile tersi arasındaki çarpma işlemi sonucu bir olarak verecektir.

Tam Sayıların Özellikleri

Tamsayıların başlıca özellikleri şunlardır:

• Birleşme Özelliği
• Değişme Özelliği
• Dağılma Özelliği
• Ters eleman Özelliği

Birleşme Özelliği:

İlişkisel özelliğe göre, iki tamsayının gruplandırılmasının değiştirilmesi işlemin sonucunu değiştirmez. İlişkisel özellik, iki tamsayının toplanması ve çarpılması için geçerlidir.

Herhangi iki tam sayı için, a ve b:

• a+(b+c)=(a+b)+c
• a ×(b×c)=(a×b)×c

Değişme Özelliği:

Değişmeli özelliğe göre, bir işlemde işlenenlerin konumlarının değiştirilmesi sonucu etkilemez. Tam sayıların toplanması ve çarpılması, değişme özelliği takip eder.

Herhangi iki tam sayı için, a ve b:

• a+b=b+a
• a×b=b×a

Dağılma Özelliği:

Dağılım özelliği, a (b+c) formunun herhangi bir ifadesi için, yani a×(b+c) anlamına gelir, a işleneni b ve c işlenenleri arasında şu şekilde dağıtılabilir: (a×b+a×c) yani,

a×(b+c)=a×b+a×c

Ters Eleman Özelliği:

Toplamsal ters özelliği, herhangi bir tamsayı ile negatif değeri arasındaki toplama işleminin sonucu sıfır olarak vereceğini belirtir.

Herhangi bir tamsayı için a:

a+(-a)=0

Tamsayılar Hakkında SSS

Matematikte Tam Sayı Nedir?

Tamsayı, sıfır dahil olmak üzere negatif ve pozitif sayılar kümesinden ondalık veya kesirli kısmı olmayan bir sayıdır. Tam sayı örnekleri şunlardır: -5, 0, 1, 5, 8, 97 ve 3.043.

Farklı Tam Sayı Türleri Nelerdir?

Genel olarak üç tür tamsayı vardır:

• Pozitif Tamsayılar: Bir tamsayı sıfırdan büyükse pozitiftir. Örnek 1, 2, 3…
• Negatif Tamsayılar: Bir tamsayı sıfırdan küçükse negatiftir. Örnek -1, -2, -3…
• Sıfır, ne negatif ne de pozitif tam sayı olarak tanımlanır.

Tam Sayı Formülü nedir?

Tamsayı formülü, tamsayıların işlemlerini yapmak için izlenen bir dizi kuraldır. Her işlem için tamsayı formülü farklıdır. Toplam/fark için olduğu gibi tamsayı formülü şöyle olacaktır:

• (+)+(+)=+
• (-)+(-)=-
• (+)+(-)=+
• (+)+(-)=-

Ürün/bölüm için tamsayı formülü:

• (+)×(+)=+; (+)÷(+)=+
• (-)×(-)=+; (-)÷(-)=+
• (+)×(-)=-; (+)÷(-)=-
• (-)×(+)=-; (-)÷(+)=-

☛ Ayrıca Ayrıntılı Anlamak İçin Okuyun:

• Tamsayı Formülleri
• Ardışık Tamsayılar Formülü
• Tam Sayıların Toplamı Formülü

Negatif Bir Sayı Tam Sayı Olabilir mi?

Evet, ondalık veya kesirli kısmı olmaması gerektiği için negatif bir sayı da bir tam sayı olabilir. Örneğin: Negatif sayılar: -2, -234, -71, vb. hepsi tam sayılardır.

Ardışık Tamsayılar nedir?

Sırayla birbirini izleyen tam sayılara ardışık tam sayılar denir. Örneğin: 2,3,4 ve 5 sayıları ardışık dört tam sayıdır.

Pozitif ve Negatif Tamsayı Ekleme Kuralı Nedir?

Pozitif ve negatif bir tamsayı toplama kuralı için, toplamalarını bulmak için iki tamsayı arasındaki farkın hesaplanması gerektiğini belirtir. Sonucun işareti, ikisinin daha büyük tamsayısınınkiyle aynı olacaktır.

Tam Sayıların Özellikleri Nelerdir?

Tam sayılar üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi çeşitli aritmetik işlemler yapılabilir. Bu farklı işlemlerle ilişkili tam sayıların başlıca özellikleri şunlardır:

• Birleşme
• Değişme
• Dağılma