Eşitsizlikler Nedir? Tanımı

Matematikte eşitsizlik, iki matematiksel ifade veya iki sayı arasında eşit olmayan bir karşılaştırma yapıldığında ortaya çıkar. Genel olarak, eşitsizlikler sayısal eşitsizlik veya cebirsel eşitsizlik olabilir. Sayı doğrusunda değerlerine bağlı olarak iki sayı karşılaştırıldığında sayısal eşitsizlik oluşur. Cebirsel eşitsizlik, bir ifade diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğunda ortaya çıkar. Çeşitli eşitsizlikleri temsil etmenin birkaç yolu vardır. Bu makalede eşitsizlikleri, eşitsizlikleri çözmeyi, eşitsizliklerin grafiğini çizmeyi ve tek değişkenli eşitsizlikleri ve tek değişkeni grafiklemeyi öğrenelim.

Eşitsizlikler Nelerdir?

Eşitsizlikler, eşitsizlik sembolleri kullanılarak iki değerin karşılaştırıldığı ifadeler olarak tanımlanır. Eşitsizliği temsil etmek için kullanılan beş sembol aşağıda listelenmiştir:

Sembol Adı Sembol Örneği

Eşit değil	≠	x ≠ 3
Daha küçük	(<)	x+7<√2
Daha büyük	(>)	1+10x>2+16x
Küçük veya eşit	(≤)	y ≤ 4
Büyük veya eşit	(≥)	-3-√3x ≥ 10

Eşitsizlik Kuralları

Eşitsizlikler üzerinde yapılan 4 tür işlem toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Aynı çözüme sahip eşitsizliklere eşdeğer eşitsizlik denir. Hem eşitlik hem de eşitsizlik için kurallar vardır. Aşağıda belirtilen tüm kurallar, (≤)’den küçük veya eşit ve (≥)’den büyük veya eşit (≥) içeren eşitsizlikler için de geçerlidir. Eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini öğrenmeden önce, tüm bu işlemler için bazı önemli eşitsizlik kurallarına bakalım.

Eşitsizliğin Toplama Kuralı:

Eşitsizliğin toplama kuralına göre, eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklemek eşdeğer bir eşitsizlik üretir, yani eşitsizliğin her iki tarafında eşitsizlik sembolü değişmez.

x>y ise x+a>y+a ve x

Eşitsizliğin Çıkarma Kuralı:

Eşitsizliğin çıkarma kuralına göre, eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayıyı çıkarmak eşdeğer bir eşitsizlik üretir, yani eşitsizliğin her iki tarafında eşitsizlik sembolü değişmez.

x>y ise, x − a>y − a ve x

Eşitsizliğin Çarpma Kuralı:

Eşitsizliğin çarpma kuralına göre, bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpmak her zaman eşdeğer bir eşitsizlik üretir, yani eşitsizliğin her iki tarafında eşitsizlik sembolü değişmez.

x>y ve a>0 ise x * a>y * a ve x0 ise x * a

Öte yandan, bir eşitsizliğin her iki tarafında negatif bir sayı ile çarpma, eşitsizlik sembolünün yönünü de tersine çevirmedikçe eşdeğer bir eşitsizlik üretmez.

x>y ve a<0 ise, x * ay * a.

Eşitsizlik Bölme Kuralı:

Eşitsizliğin bölme kuralına göre, bir eşitsizliğin her iki tarafının pozitif bir sayı ile bölünmesi eşdeğer bir eşitsizlik üretir, yani eşitsizliğin her iki tarafında eşitsizlik sembolü değişmez.

x>y ve a>0 ise (x/a)>(y/a) ve x0 ise (x/a)<(y/a).

Öte yandan, bir eşitsizliğin her iki tarafının negatif bir sayı ile bölünmesi, eşitsizlik sembolü tersine çevrilirse eşdeğer bir eşitsizlik üretir.

x>y ve a<0 ise (x/a)<(y/a) ve x(y/a)

Eşitsizlikleri Nasıl Çözersiniz?

Çok adımlı eşitsizliği çözmek, çok adımlı denklemleri çözmekle aynıdır; değişkeni sabitlerden izole ederek başlayın. Eşitsizlik kuralları gereği çok adımlı eşitsizlikleri çözerken negatif sayılarla çarpma veya bölme yaparken eşitsizlik işaretini ters çevirmeyi unutmamamız önemlidir.

• 1. Adım: Değer elde edildiğinde, eşitsizlik katı bir eşitsizlikse, x’in çözümü soruda tanımlandığı gibi elde edilen değerden küçük veya büyüktür. Ve eğer eşitsizlik katı bir eşitsizlik değilse, o zaman x’in çözümü, soruda tanımlandığı gibi elde edilen değerden küçük veya ona eşit veya ondan büyük veya ona eşittir.

Şimdi eşitsizlikleri çözmeyi deneyelim.

2x+3>7

Bu eşitsizliği çözmek için aşağıdaki adımları takip edeceğiz:

2x>7-3 ⇒ 2x>4 ⇒ x>2

Bu eşitsizliğin çözümü, bu eşitsizliğin sağlandığı, yani sol tarafın sağ taraftan daha büyük olduğu tüm x değerlerinin kümesi olacaktır.

Eşitsizlikleri Tek Değişkenle Çözme

Öğrendiğimiz kavramı uygulayarak eşitsizlikleri tek değişkenli çözmeye çalışalım. Aşağıdaki örneği düşünün.

3x-15>2x+11

Aşağıdaki gibi ilerliyoruz:

-15-11>2x-3x ⇒-26 >-x ⇒ x>26

Eşitsizlikleri Nasıl Grafiklendirirsiniz?

Çıktı bir değişkenin çözümünü verdiğinden, bir değişkenli eşitsizlikler bir sayı doğrusu üzerinde çizilir. Bu yüzden tek değişkenli eşitsizliğin grafiği yalnızca bir sayı doğrusu kullanılarak yapılır. Aksine, çıktı iki değişkenin çözümünü verdiği için iki değişkenli eşitsizlikler bir grafikte çizilir. Bu yüzden iki değişkenli eşitsizliklerin grafiği, bir grafik kullanılarak yapılır.

Tek Değişkenli Eşitsizliklerin Grafiklendirilmesi

Aşağıdaki örneği ele alalım.

4x>-3x+21

Bu durumda çözüm basittir.

4x+3x>21 ⇒ 7x>21 ⇒ x>3

Bu, bir sayı doğrusu üzerinde şu şekilde çizilebilir:

Sayı doğrusu üzerinde mavi olan herhangi bir nokta bu eşitsizliği karşılayacaktır. Bu durumda, 3 noktasında içi boş bir nokta çizdiğimize dikkat edin. Bu, 3’ün çözüm kümesinin bir parçası olmadığını belirtmek içindir (bunun nedeni, verilen eşitsizliğin katı bir eşitsizliğe sahip olmasıdır). Elde edilen çözüme göre sayı doğrusundaki kırmızı kısım eşitsizliği sağlıyor. Eşitsizliğin başka bir örneğini ele alalım:

3x+1 ≤ 7

Aşağıdaki gibi ilerliyoruz:

3x ≤ 7-1 ⇒ 3x ≤ 6 ⇒ x ≤ 2

Bu çözüm kümesini bir sayı doğrusu üzerinde göstermek istiyoruz. Böylece sayı doğrusunda 2’nin solunda kalan kısmını vurgularız.

Görüyoruz ki sayı doğrusunda kırmızı kısımda yer alan herhangi bir sayı bu eşitsizliği giderecektir ve bu nedenle bu eşitsizliğin çözüm kümesinin bir parçasıdır. Tam olarak 2 noktasında düz bir nokta çizdiğimize dikkat edin. Bu, 2’nin de çözüm kümesinin bir parçası olduğunu belirtmek içindir.

Eşitsizlikler Üzerine Önemli Notlar

Eşitsizlikleri incelerken hatırlanması gereken birkaç noktanın listesi:

• Değişkenin en yüksek gücünün 1 olması nedeniyle bir eşitsizlik denir.
• “Küçüktür” ve “büyüktür” katı eşitsizliklerdir, “küçük veya eşittir” ve “büyüktür veya eşittir” katı eşitsizlikler değildir.
• Katı eşitsizliği kullanan her eşitsizlik için x için elde edilen değer içi boş bir nokta ile gösterilir. Elde edilen değerin hariç tutulduğunu gösterir.
• Kesin eşitsizlik olmayan her eşitsizlik için x için elde edilen değer düz nokta ile gösterilir. Elde edilen değerin dahil edildiğini gösterir.

Eşitsizlikler Hakkında SSS

Eşitsizlik Örneği Nedir?

Eşitsizliğe bir örnek, x-5>3x-10’dur. Burada, LHS, bu eşitsizlikte büyüktür sembolü kullanıldığından, RHS’den kesinlikle büyüktür. Çözdükten sonra eşitsizlik şöyle görünür: 2x>5 ⇒ x>(5/2).

Eşitsizliklerin Kullanım Alanları Nelerdir?

Eşitsizlikler, bir probleme en iyi çözümü belirlemek için eşitliklerden çok gerçek hayat problemlerinde sıklıkla kullanılır. Bu çözüm, karı maksimize etmek için bir üründen kaç tane üretilmesi gerektiğini bulmak kadar basit olabileceği gibi, hastaya verilecek doğru ilaç kombinasyonunu bulmak kadar karmaşık da olabilir.

Eşitsizliklerin İşletmelerde Kullanım Alanları Nelerdir?

İşletmeler, fiyatlandırma modelleri oluşturmak, üretim hatlarını planlamak ve envanterlerini kontrol etmek için eşitsizlikleri kullanır. Ayrıca nakliye veya depolama malzemeleri ve malları için kullanılırlar.

Eşitsizliklerde Kullanılan Semboller Nelerdir?

Eşitsizliklerde kullanılan semboller:

• Eşit değil (≠)
• Küçüktür (<)
• Büyüktür (>)
• Küçük veya eşit (≤)
• Büyük veya eşit (≥)

Eşitsizlikler ve Denklemler Arasındaki İki Benzerlik Nedir?

Eşitsizlikler ve denklemler arasındaki benzerlikler şunlardır:

• Her iki matematiksel ifade de iki ifadeyi birbiriyle ilişkilendirir.
• İkisi de aynı şekilde çözülür.